Physique

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Chroniques éparses : Mathématiques.

 

1) Le Problème de Steiner.

Ou comment résoudre un problème variationnel complexe avec de l'eau savonneuse.

 

2) L'étonnante équation différentielle de Lee Rubel.

Il y a 30 ans déjà, Lee Rubel publia un résultat étonnant (Bull. Am. Math. Soc. 4, pp345-349 (1981)), présenté ci-dessous de façon informelle.  Les détails analytiques sont reportés en annexe (Notebook Mathematica).

Il est bien connu que toute équation différentielle définit une famille de fonctions.  Ainsi l'équation linéaire (d'ordre 2 et de degré 1), y''(x) + y(x) = 0, définit la famille des fonctions trigonométriques de base, sinus et cosinus.  Pour plus de commodité, on a donné un nom aux équations qui définissent des fonctions utiles aux physiciens (et aux autres !) mais qu'il soit bien clair que les autres équations ne sont pas moins valables pour autant du moment qu'elles ne sont pas sensibles aux conditions initiales.  Rubel a trouvé une équation différentielle d'ordre 4 et de degré 7 qui possède une solution qui approxime, à moins de epsilon près (epsilon aussi petit que l'on veut), n'importe quelle fonction infiniment continûment dérivable !  Certes cette équation n'est pas simple mais il n'empêche que le résultat est surprenant.  L'équation s'écrit :

Comment une telle prouesse est-elle possible ?  Observons que la fonction exponentielle, y(x)= exp(a x), satisfait exactement l'équation de Rubel et en cherchant bien on en trouverait beaucoup d'autres.  Cependant une fonction choisie au hasard, par exemple , y(x) = sin(x), ne la satisfait pas.  Ce qu le théorème de Rubel affirme c'est qu'il existe un jeu de conditions initiales qui garantit que la solution correspondante est aussi peu distante que l'on veut de la fonction sin(x) ou d'ailleurs de n'importe quelle autre, infiniment continûment dérivable.   L'idée est d'approximer la fonction donnée par un modèle adéquat, sur une suite d'intervalles consécutifs qui sont d'autant plus étroits que la précision exigée est grande.  Le modèle considéré par Rubel se note :

Il est viable parce qu'il possède quelques propriétés remarquables :

- f(a)=y_a et f(b)=y_b.  Autrement dit, le modèle relie, comme souhaité, les points (a,y_a) et (b,y_b), situés aux extrémités de l'intervalle (a,b).

- f(x) satisfait l'équation de Rubel.  Cela est trivial en-dehors de l'intervalle (a,b) puisque le modèle y est constant mais c'est également vrai à l'intérieur.

- Sur l'intervalle (a,b) le modèle s'écarte aussi peu que l'on veut de la fonction donnée, à condition de respecter les limites, f(a)=y_a et f(b)=y_b, aux extrémités a et b et de rapprocher suffisamment b de a.

- Le raccord du modèle entre deux intervalles consécutifs, (a,b) et (b,c) se fait sans problème grâce aux propriétés remarquables de f(x) : les deux modèles se raccordent, de fait, infiniment continûment au point commun, x=b, car toutes les dérivées y sont nulles.

Si l'un des objectifs de la science consiste à trouver un modèle théorique qui colle à la réalité expérimentale, on constate que l'équation de Rubel apparaît comme universelle au sens où elle rend compte de n'importe quel ensemble de données échantillonnant un phénomène continu.  Cependant il faut bien comprendre que cette équation ne possède aucune vertu prédictive dans la mesure où on a déplacé le problème au niveau de la recherche des conditions initiales qui induisent la solution cherchée. Etant donnée une fonction, aucune procédure algorithmique ne peut révéler les conditions initiales à introduire dans l'équation de Rubel afin de calculer la solution qui l'approxime à moins de epsilon près.  Cette non-calculabilité limite évidemment l'intérêt de la découverte de Rubel.

On a proposé d'autres équations universelles, plus simples, telles celles de Duffin,