Réflexion sur un miroir plan mobile

Le principe de Fermat dans le référentiel lié au miroir

(∂_x) (c(t1[x]+t2[x]))==(∂_x) ((Sqrt[(H^2)+(((d-x))^2)])+(Sqrt[(((H+v(t1+t2)))^2)+(((d+x))^2)]))/.(t1'[x]+t2'[x])->0

(* Cette relation établit l'égalité des angles d'incidence et de réflexion dans le référentiel lié au miroir car elle équivaut à : ((d-x)/(c (Subscript[t, 1])))=((d+x)/(c (Subscript[t, 2]))) *)

Eliminate[{c t1==(Sqrt[(H^2)+(((d-x))^2)]),c t2==(Sqrt[(((H+v(t1+t2)))^2)+(((d+x))^2)]),((d-x)/(c t1))==((d+x)/(c t2))},{t1,t2}]

Solve[(c^2) d (H^2) x+c d H v (-d+x) (Sqrt[(d^2)+(H^2)-2 d x+(x^2)])-(d^2) (v^2) ((d^2)+(H^2)-2 d x+(x^2))==0,x]        (* On calcule ensuite les extrema en ne retenant que la seule racine positive compatible : *)

{{x->((d (v^2)-(Sqrt[(c^2) (H^2) (v^2)-(H^2) (v^4)]))/(v^2))},{x->((d (v^2)+(Sqrt[(c^2) (H^2) (v^2)-(H^2) (v^4)]))/(v^2))},{x->((-(d^3) (v^2)-(Sqrt[(c^2) (d^4) (H^2) (v^2)+(c^2) (d^2) (H^4) (v^2)-(d^4) (H^2) (v^4)]))/((c^2) (H^2)-(d^2) (v^2)))},{x->((-(d^3) (v^2)+(Sqrt[(c^2) (d^4) (H^2) (v^2)+(c^2) (d^2) (H^4) (v^2)-(d^4) (H^2) (v^4)]))/((c^2) (H^2)-(d^2) (v^2)))}}

x[v_,d_,c_,H_]:=d (v/c)((v/c-H/d(Sqrt[(H/d)^2+1-v^2/c^2]))/(v^2/c^2-H^2/d^2))

Plot[{x[0.01,1,1,H],x[0.08,1,1,H],x[0.2,1,1,H],x[0.4,1,1,H],x[0.6,1,1,H],x[0.8,1,1,H]},{H,0,2},PlotRange->{{0,2},{0,1}},Frame->True,PlotStyle->{{Black,Thick},{Black,Thick},{Black,Thick},{Black,Thick},{Black,Thick},{Black,Thick}},PlotStyle->{Thick},LabelStyle->{Bold,Directive[14]},FrameLabel->{H,x[H,v]}]

Le principe de Fermat dans le référentiel lié au couple source-détecteur

Solve[Numerator[Together[(∂_x) (H (v/c)+(Sqrt[H^2+(d-x)^2])+(Sqrt[(((H (v/c)+(Sqrt[H^2+(d-x)^2])))^2)+4d x(1-v^2/c^2)]))]]==0,x]

{{x->((d (v^2)-(Sqrt[(c^2) (H^2) (v^2)-(H^2) (v^4)]))/(v^2))},{x->((d (v^2)+(Sqrt[(c^2) (H^2) (v^2)-(H^2) (v^4)]))/(v^2))},{x->((-(d^3) (v^2)-(Sqrt[(c^2) (d^4) (H^2) (v^2)+(c^2) (d^2) (H^4) (v^2)-(d^4) (H^2) (v^4)]))/((c^2) (H^2)-(d^2) (v^2)))},{x->((-(d^3) (v^2)+(Sqrt[(c^2) (d^4) (H^2) (v^2)+(c^2) (d^2) (H^4) (v^2)-(d^4) (H^2) (v^4)]))/((c^2) (H^2)-(d^2) (v^2)))}}

Note additionnelle

Series[(Sqrt[Cos[θ]^2+(Sin[θ]-1/2)^2])+(Sqrt[Cos[θ]^2+(Sin[θ]+1/2)^2]),{θ,0,2}]

Series[(Sqrt[(2-Cos[θ])^2+(Sin[θ]-1/2)^2])+(Sqrt[(2-Cos[θ])^2+(Sin[θ]+1/2)^2]),{θ,0,2}]

Plot[{(Sqrt[Cos[θ]^2+(Sin[θ]-1/2)^2])+(Sqrt[Cos[θ]^2+(Sin[θ]+1/2)^2]),(Sqrt[(2-Cos[θ])^2+(Sin[θ]-1/2)^2])+(Sqrt[(2-Cos[θ])^2+(Sin[θ]+1/2)^2])},{θ,-π/6,+π/6},PlotStyle->{{Black,Thick},{Black,Thick}}]