Triangles à côtés, {a, b, c}, entiers et dont un angle est multiple d’un autre (B = k A, k entier positif).

Expression de Sin[k x]/Sin[x] à l’aide des Polynômes de Tchebychev de deuxième espèce, U[k, Cos[x]] :

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Les premiers polynômes U[k, z] pour k allant de 0 à 5 :

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Vu la relation des sinus, les côtés {a, b, c} sont proportionnels à {1, U[k-1, Cos[α]], U[k, Cos[α]]} :

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Les côtés {a, b, c } sont rationnels si Cos[α] = m/(2n) (m et n entiers positifs) :

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Les côtés {a, b, c } sont entiers à condition de chasser les dénominateurs, ce qui fournit la forme générale des solutions cherchées (On n’affiche que les cas, k = 1, 2, ..., 5) :

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{n,n,m}
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Pour tout k entier positif, on trouve les solutions acceptables en parcourant les valeurs croissantes de m au départ de m=1 (on se limite à mmax) et en ne retenant que les valeurs de n qui satisfont la double condition, m/2 < n < (m/2)/Cos[Pi/(k+1)] :

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Solutions du cas k = 2 :

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Vérification des angles :

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Solutions du cas k = 3 :

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Solutions du cas k = 4 :

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Les cas suivants (k = 5, 6, ...) se traitent de la même façon.

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