+ 
, démontrer que le quotient, q = 
(k entier), est un carré parfait.
Le problème n°6 des Olympiades IMO 1988
1) Enoncé : a et b étant des entiers positifs tels que ab + 1 divise + , démontrer que le quotient, q = (k entier), est un carré parfait.
On cherche quelques solutions simples :
On ordonne ces valeurs selon les valeurs croissantes de q :
Une vérification parmi d’autres 
solution) :
Les premiers couples qui produisent un quotient, q = 4 = 
:
Une vérification parmi d’autres (a = 30 et b = 112) :
La récurrence satisfaite par les 
successifs :
La récurrence satisfaite par les 
successifs (elle est identique car 
= 
) :
En Mathematica, {u, v, ... } est la notation condensée des récurrences linéaires du type : 
= u 
+ v 
+ ...
Cas général où le quotient q = 
est un carré parfait quelconque . La récurrence se note : { 
, -1}. Elle est reprise ci-dessous en notation explicite traditionnelle :
Si q = 
= 4, on retrouve évidemment les valeurs déjà trouvées :
Si q = 
= 9, on trouverait :
On affiche les couples-solutions (a, b) lorsque q = 
= 4, 9, 16, 25 en termes des fonctions de Tchebychev de deuxième espèce, U(n, z) :
| {2,8} | {8,30} | {30,112} | {112,418} | {418,1560} |
| {3,27} | {27,240} | {240,2133} | {2133,18957} | {18957,168480} |
| {4,64} | {64,1020} | {1020,16256} | {16256,259076} | {259076,4128960} |
| {5,125} | {125,3120} | {3120,77875} | {77875,1943755} | {1943755,48516000} |
Formule récapitulative (q = 
):
2) Variante du problème précédent.
Enoncé : a et b étant des entiers positifs tels que ab - 1 divise 
+ 
, le quotient, q = vaut toujours 5.
On commence par chercher quelques solutions simples pour le couple (a, b) :
Première famille de solutions (sur deux existantes) :
Formule compacte pour la première famille de solutions :
Deuxième famille de solutions (sur deux existantes) :
Formule compacte pour la deuxième famille de solutions :
Formules récapitulatives :
