Physique

Musique

Chroniques éparses : Physique.

 

1) Chandelle à bascule.

 

2) Capture d'une balle.

 

3) Equilibre stable.

 

4) Moteur simplissime.

 

5) Synchronisation spontanée.

Cette expérience, futile en apparence, a suggéré que l'on dispose les sections de 1^er et de seconds violons, d'altos et de violoncelles des orchestres symphoniques, sur des plates-formes posées sur rouleaux afin d'obtenir que les musiciens jouent enfin ensemble !

 

6) Bachelier, où est la faille ?

La présentation d'un problème recourt parfois à des simplifications - louables, à première vue - qui sont de nature à désorienter sinon fourvoyer le lecteur.  Quel étudiant universitaire en sciences pourrait démêler rapidement (et même lentement !) le pseudo-paradoxe suivant ?

Un véhicule, de masse m, animé de la vitese v₀ par rapport au sol, atterrit tangentiellement, touchant le sol à l'instant t = 0.  Les freins ayant été préalablement bloqués, il s'immobilise bientôt sous l'effet des forces de frottement.  Son énergie cinétique passe donc de la valeur classique, K_in = m v₀²/2, à la valeur K_fin = 0.  Cette énergie n'a pas disparu pour autant, elle se retrouve (intégralement ? pas si sûr, cfr infra) sous forme de chaleur, Q, dissipée dans les pneumatiques et le sol.  Jusque là, tout semble aller bien.  Là où les choses paraissent se corser, c'est lorsqu'on observe la scène dans le référentiel (inertiel, comme celui lié au sol), animé de la vitesse v₀ par rapport au sol.  On serait tenté de raisonner comme suit : le véhicule passe de la vitesse nulle à la vitesse -v₀ (c'est correct) donc il acquiert une énergie cinétique, m v₀²/2.  D'où vient cette énergie, sûrement pas des freins qui se refroidissent !

Solution.  Le piège se situe au niveau d'une hypersimplification au niveau de l'énoncé, renforcée par le dessin suivant (à gauche), qui sème le trouble.  La conservation de l'énergie ne se conçoit que dans un système isolé et le fait est que le système représenté à gauche ne l'est qu'imparfaitement.  Considérer que le sol est rivé à une terre immobile donc qu'il n'intervient pas dans le bilan énergétique est faux : on s'en rend compte en remaniant le dessin comme représenté à droite.

Le recul du sol doit être pris en compte et c'est ce que la figure de droite représente en posant ce sol sur une surface de base sans frottement.  A présent les bilans énergétiques s'établissent comme suit, selon le référentiel dans lequel on travaille :

- Dans le référentiel absolu, S, on a que les vitesses des masses m et M évoluent selon les lois, v = v₀- (f/m) t et V = 0 + (f/M) t.  L'instant final, t_fin = Mm v₀/[(M+m)f], est celui où la vitesse relative de m par rapport à M devient nulle (V=v).  A cet instant, l'ensemble, M+m, se déplace à la vitesse m v₀/(M+m).  Le bilan énergétique se détermine comme suit : à l'instant initial, t_in = 0, E_in = K(m) + K(M) = m v₀²/2 + 0 et à l'instant final, t_fin = Mm v₀/[(M+m)f], E_fin = K(m) + K(M) + Q = 0 + m² v₀²/[2(M+m)] + Q.

La quantité de chaleur dissipée, Q, vaut le travail de la force de frottement lors du mouvement relatif des surfaces,

Au bilan et après simplifications, on a que l'énergie se conserve sous la forme, E_in = E_fin.  Bien noter que ce bilan ne dit pas tout-à-fait que la quantité de chaleur dissipée vaut l'énergie cinétique initale de m car la terre en reculant emporte une partie microscopique de l'énergie (le rapport m/M est ridiculement petit) mais c'est cette différence qui règle son compte au pseudo-paradoxe.  Voyons cela de plus près en raisonnant dans le référentiel en mouvement, S'.

- Dans le référentiel, S', animé de la vitesse, v₀, par rapport à S, les vitesses évoluent selon les lois, v = 0 - (f/m) t et V = -v₀ + (f/M) t.   L'instant final, t_fin = Mm v₀/[(M+m)f], n'a pas changé, se calculant comme dans S.  De même, la quantité de chaleur dissipée, Q, vaut encore, Q = Mm v₀²/[2(M+m)].  Le bilan énergétique se détermine comme suit : à l'instant initial, t_in = 0, E_in = K(m) + K(M) = 0 + M v₀²/2 et à l'instant final, t_fin = Mm v₀/[(M+m)f], E_fin = K(M+m) + Q = M² v₀²/[2(M+m)] + Mm v₀²/[2(M+m)] = M v₀²/2 = E_in.  L'énergie est bien conservée et la contradiction disparaît.   Autrement dit, l'énergie se conserve dans ce référentiel mais il faut tenir compte du recul de la terre !  C'était déjà le cas dans S mais cette subtilité n'y jouait pas un rôle aussi apparent.

- Le bachelier vraiment très curieux souhaitera peut-être vérifier la conservation de l'énergie dans le référentiel (non inertiel !), lié à la masse m.  La deuxième loi de Newton continue de s'appliquer, dans ce référentiel, à condition de considérer qu'un champ fictif d'inertie y règne, indiscernable d'un champ de gravitation, g = f/m, orienté en sens contraire de l'accélération absolue de m, soit de gauche à droite sur la figure.  Le bilan énergétique doit, cette fois, prendre en considération qu'une énergie potentielle de type, mgh, est associée à ce champ.  La masse m est solidaire du référentiel non inertiel donc son énergie cinétique est nulle à tout instant.  On peut en dire autant de l'énergie potentielle puisque la position de m est évidemment invariable par rapport à elle-même (mgh = 0 car h = 0).  En définitive, le bilan énergétique ne fait intervenir que M et Q.

En détail, l'énergie cinétique de M diminue de la valeur K_in = M v₀²/2 à la valeur K_fin = 0.  L'énergie potentielle augmente (car en mouvement relatif, M se déplace vers la gauche par rapport à m (il remonte les lignes de champ), d'une quantité égale à M g_fictif h = M (f/m)(e_m-e_M) = M² v₀²/[2(M+m)].  Au bilan, on vérifie que l'on a bien : M v₀²/2 - M² v₀²/[2(M+m)] = Mm v₀²/[2(M+m)] = Q, comme il se doit.  On note que Q possède la même valeur dans tous les référentiels considérés.